Alexander Melnikov a Moszkvai Konzervatóriumban szerzett diplomát Lev Naumov tanítványaként. Legmeghatározóbb zenei pillanatai között szerepel egy korai moszkvai találkozás Svjatoslav Richterrel, aki ezt követően rendszeresen meghívta őt oroszországi és franciaországi fesztiválokra. Melnikov fontos díjakat kapott olyan kiemelkedő versenyeken, mint a zwickaui Nemzetközi Robert Schumann Zenei Verseny (1989) és a brüsszeli Erzsébet Királyné Zenei Verseny (1991).

Az előadást és a zenei programot egyaránt érintő nem megszokott döntéseiről ismert Alekszandr Melnikov érdeklődése korán felébredt a historikus előadásmód iránt, mely egész zenei pályafutását végigkísérte. Legnagyobb hatással Andreas Staier és Aleksej Lubimov volt rá. Melnikov rendszeresen fellép olyan nagyszerű régizenei együttesekkel, mint a Freiburgi Barokk Zenekar, a Musica Aeterna és a Berlini Régizene Akadémia (Akademie für Alte Musik Berlin).

Alexander Melnikov szólistaként olyan zenekarokkal koncertezik, mint az amszterdami Királyi Concertgebouw Zenekar, a Lipcsei Gewandhaus Zenekar, a Philadelphiai Zenekar, az Észak-Német Rádió Szimfonikus Zenekara, a Frankfurti Rádió Szimfonikus Zenekara, az Orosz Nemzeti Zenekar, a Müncheni Filharmonikusok, a Rotterdami Filharmonikusok, a BBC Filharmonikusok, az Orchestre des Champs-Élysées és az NHK Szimfonikus Zenekar, olyan karmesterek irányítása alatt, mint Mihhail Pletnev, Teodor Currentzis, Charles Dutoit, Paavo Järvi és Valerij Gergiev.

Andreas Staierrel közösen olyan zenei programot dolgoztak ki, amelyben Bach Das Wohltemperierte Klavier (A jól hangolt zongora) egyes részleteit léptették zenei párbeszédbe Sosztakovics 24 prelúdium és fúgájával (Andreas Staier – csembaló, Alekszandr Melnikov – zongora). Továbbá a két művész a közelmúltban egy négykezes darabokból álló egyedülálló Schubert-hangfelvételt készített, s ezt koncerteken is előadták. Melnikov munkájának lényeges része az intenzív kamarazenei együttműködés partnereivel, köztük Jean-Guihen Queyras csellistával.

Alexander Melnikov állandó fellépő partnere, Isabelle Faust hegedűművész révén került kapcsolatba a harmonia mundi kiadóval, és 2010-ben Beethoven hegedűre és zongorára írt szonátáinak teljes hangfelvételével Gramophone-díjat nyertek, majd a nagyhatású hangfelvételt Grammy-díjra is jelölték. Legújabb közös kiadásuk Brahms hegedűre és zongorára írt szonátái voltak.

Sosztakovics prelúdiumainak és fúgáinak felvételével Melnikov elnyerte a BBC Music Magazine díját, a francia Classica magazin kritikai díját (Choc de Classica) és a német lemezkritikusok éves díját (Jahrespreis der Deutschen Schallplattenkritik). 2011-ben az albumot a BBC Music Magazine „Minden idők 50 legjobb hangfelvétele” közé választotta. Az említetteken túl Melnikov diszkográfiáján megtalálhatóak Brahms, Rahmanyinov, Sosztakovics és Szrkjabin művei is. Isabelle Faust, Jean-Guihen Queyras, Pablo Heras-Casado és a Freiburgi Barokk Zenekar közreműködésével egy album-trilógiát készített Schumann concertóiból és trióiból; a második tételt, a Zongoraconcertót és a 2. számú zongoratriót 2015 szeptemberében adták ki. További felvételei között szerepel egy 2016 novemberében készült hangfelvétel Prokofjev műveiből, egy 2017. júniusi fölvétel Chausson- és Franck-darabokból, legújabb munkáját pedig 2018 februárjában tette közzé „Négy darab, négy zongora” címmel, s ez azóta komoly kritikai elismerésnek örvend.

Az 2018/19-es évadban Alexander Melnikov „The Man with the Many Pianos” (Az ember a zongorákkal) című projektjével turnézott, a szólóesteken több hangszer megszólaltatásával nyújtva betekintést a művek keletkezésének korába. A Mahler Kamarazenekarral és a Brémai Német Kamarafilharmóniával adott koncertek mellett folytatja együttműködését a Camerata Salzburggal, valamint művészeti partnerként a Tapiola Sinfoniettával.

További kiemelt eseményt jelent egy egyesült államokbeli turné Andreas Staierrel, valamint szólóestek az alábbi helyeken: a berlini Pierre Boulez Saal-ban, az amszterdami Concertgebouw-ban, az Elbai Filharmóniában, a párizsi Cité de la Musique-ban és a Berlini Filharmonikus Zenekar kamaratermében. Mindemellett Melnikov a London Wigmore Hall vendégművész-programjának résztvevője.